Энергия - это запас работоспособности системы. Механическая энергия определяется скоростями движений тел в системе и их взаимным расположением; значит, это энергия перемещения и взаимодействия.
Кинетическая энергия тела - это энергия его механического движения, определяющая возможность совершить работу. При поступательном движении она измеряется половиной произведения массы тела на квадрат его скорости:
При вращательном движении кинетическая энергия тела имеет выражение:
Потенциальная энергия тела - это энергия его положения, обусловленная взаимным относительным расположением тел или частей одного и того же тела и характером их взаимодействия. Потенциальная энергия в поле сил тяжести:
где G - сила тяжести, h - разность уровней начального и конечного положения над Землей (относительно которого определяется энергия). Потенциальная энергия упругодеформированного тела:
где С - модуль упругости, дельта l - деформация.
Потенциальная энергия в поле сил тяжести зависит от расположения тела (или системы тел) относительно Земли. Потенциальная энергия упругодеформированной системы зависит от относительного расположения ее частей. Потенциальная энергия возникает за счет кинетической (подъем тела, растягивание мышцы) и при изменении положения (падение тела, укорочение мышцы) переходит в кинетическую.
Кинетическая энергия системы при плоскопараллельном движении равна сумме кинетической энергии ее ЦМ (если предположить, что в нем сосредоточена масса всей системы) и кинетической энергии системы в ее вращательном движении относительно ЦМ:
Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии. При отсутствии воздействия внешних сил полная механическая энергия системы не изменяется.
Изменение кинетической энергии материальной системы на некотором пути равно сумме работ внешних и внутренних сил на этом же пути:
Кинетическая энергия системы равна работе тормозящих сил, которая будет произведена при уменьшении скорости системы до нуля.
В движениях человека одни виды движения переходят в другие. При этом энергия как мера движения материи также переходит из одного вида в другой. Так, химическая энергия в мышцах превращается в механическую (внутреннюю потенциальную упругодеформированных мышц). Порожденная последней сила тяги мышц совершает работу и преобразует потенциальную энергию в кинетическую энергию движущихся звеньев тела и внешних тел. Механическая энергия внешних тел (кинетическая) передается при их действии на тело человека звеньям тела, преобразуется в потенциальную энергию растягиваемых мышц-антагонистов и в рассеивающуюся тепловую энергию (см. гл. IV).
В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную. Кинетической энергией
называют механическую энергию всякого свободно движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.
Пусть тело В
, движущееся со скоростью v
, начинает взаимодействовать с другим телом С
и при этом тормозится. Следовательно, тело В
действует на тело С
с некоторой силой F
и на элементарном участке пути ds
совершает работу
По третьему закону Ньютона на тело В одновременно действует сила -F , касательная составляющая которой -F τ вызывает изменение численного значения скорости тела. Согласно второму закону Ньютона
Следовательно,
Работа, совершаемая телом до полной его остановки равна:
Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости:
(3.7)
Из формулы (3.7) видно, что кинетическая энергия тела не может быть отрицательной (E k ≥ 0
).
Если система состоит из n
поступательно движущихся тел, то для ее остановки необходимо затормозить каждое из этих тел. Поэтому полная кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в нее тел:
(3.8)
Из формулы (3.8) видно, что E k
зависит только от величины масс и скоростей движения, входящих в нее тел. При этом неважно, каким образом тело массой m i
приобрело скорость ν i
. Другими словами, кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения
.
Скорости ν i
существенно зависят от выбора системы отсчета. При выводе формул (3.7) и (3.8) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, т.к. иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. Однако, в разных инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга, скорость ν i
i
-го тела системы, а, следовательно, его E ki
и кинетическая энергия всей системы будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия системы зависит от выбора системы отсчета, т.е. является величиной относительной
.
Потенциальная энергия
– это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.
Численно потенциальная энергия системы в данном ее положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия условно принимается равной нулю (E n
= 0). Понятие «потенциальная энергия» имеет место только для консервативных систем, т.е. систем, у которых работа действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы. Так, для груза весом P
, поднятого на высоту h
, потенциальная энергия будет равна E n = Ph
(E n
= 0 при h
= 0); для груза, прикрепленного к пружине, E n = kΔl 2 / 2
, где Δl
- удлинение (сжатие) пружины, k
– ее коэффициент жесткости (E n
= 0 при l
= 0); для двух частиц с массами m 1
и m 2
, притягивающимися по закону всемирного тяготения, 
, где γ
– гравитационная постоянная, r
– расстояние между частицами (E n
= 0 при r
→ ∞).
Рассмотрим потенциальную энергию системы Земля – тело массой m
, поднятого на высоту h
над поверхностью Земли. Уменьшение потенциальной энергии такой системы измеряется работой сил тяготения, совершаемой при свободном падении тела на Землю. Если тело падает по вертикали, то
Где E no
– потенциальная энергия системы при h
= 0 (знак «-» показывает, что работа совершается за счет убыли потенциальной энергии).
Если это же тело падает по наклонной плоскости длиной l
и с углом наклона α к вертикали (lcosα = h
), то работа сил тяготения равна прежней величине:
Если, наконец, тело движется по произвольной криволинейной траектории, то можно представить себе эту кривую состоящей из n малых прямолинейных участков Δl i . Работа силы тяготения на каждом из таких участков равна
На всем криволинейном пути работа сил тяготения, очевидно, равна:
Итак, работа сил тяготения зависит только от разности высот начальной и конечной точек пути.
Таким образом, тело в потенциальном (консервативном) поле сил обладает потенциальной энергией. При бесконечно малом изменении конфигурации системы работа консервативных сил равна приращению потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии:
В свою очередь работа dA
выражается как скалярное произведение силы F
на перемещение dr
, поэтому последнее выражение можно записать следующим образом:
(3.9)
Следовательно, если известна функция E n (r)
, то из выражения (3.9) можно найти силу F
по модулю и направлению.
Для консервативных сил
Или в векторном виде
где
(3.10)
Вектор, определяемый выражением (3.10), называется градиентом скалярной функции П
; i, j, k
- единичные векторы координатных осей (орты).
Конкретный вид функции П
(в нашем случае E n
) зависит от характера силового поля (гравитационное, электростатическое и т.п.), что и было показано выше.
Полная механическая энергия W
системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий:
Из определения потенциальной энергии системы и рассмотренных примеров видно, что эта энергия, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы: она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам. Следовательно, полная механическая энергия системы также является функцией состояния системы, т.е. зависит только от положения и скоростей всех тел системы.
Системой частиц может быть любое тело, газ, механизм, Солнечная система и т. д.
Кинетическая энергия системы частиц, как упоминалось выше, определяется суммой кинетических энергий частиц, входящих в данную систему.
Потенциальная энергия системы складывается из собственной потенциальной энергии частиц системы, и потенциальной энергии системы во внешнем поле потенциальных сил .
Собственная потенциальная энергия обусловлена взаимным расположением частиц, принадлежащих данной системе (т.е. ее конфигурацией), между которыми действуют потенциальные силы, а также взаимодействием между отдельными частями системы. Можно показать, что работа всех внутренних потенциальных сил при изменении конфигурации системы равна убыли собственной потенциальной энергии системы:
. (3.23)
Примерами собственной потенциальной энергии являются энергия межмолекулярного взаимодействия в газах и жидкостях, энергия электростатического взаимодействия неподвижных точечных зарядов. Примером внешней потенциальной энергии является энергия тела, поднятого над поверхностью Земли, так как она обусловлена действием на тело постоянной внешней потенциальной силы - силы тяжести.
Разделим силы, действующие на систему частиц, на внутренние и внешние, а внутренние - на потенциальные и непотенциальные. Представим (3.10) в виде
Перепишем (3.24) с учетом (3.23):
Величина, сумма кинетической и собственной потенциальной энергии системы, является полной механической энергией системы . Перепишем (3.25) в виде:
т.е., приращение механической энергии системы равно алгебраической сумме работ всех внутренних непотенциальных сил и всех внешних сил.
Если в (3.26) положить A внешн =0 (это равенство означает, что система является замкнутой) и (что равносильно отсутствию внутренних непотенциальных сил), то получим:
Оба равенства (3.27) являются выражениями закона сохранения механической энергии : механическая энергия замкнутой системы частиц, в которой отсутствуют непотенциальные силы, сохраняется в процессе движения, Такую систему называют консервативной. С достаточной степенью точности замкнутой консервативной системой можно считать Солнечную систему. При движении замкнутой консервативной системы сохраняется полная механическая энергия, в то время как кинетическая и потенциальная энергия изменяются. Однако эти изменения такие, что приращение одной из них в точности равно уменьшению другой.
Если замкнутая система не является консервативной, т. е. в ней действуют непотенциальные силы, например, силы трения, то механическая энергия такой системы, убывает, так как расходуется на работу против этих сил. Закон сохранения механической энергии является лишь отдельным проявлением существующего в природе универсального закона сохранения и превращения энергии: энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую или обмениваться между отдельными частями материи. При этом понятие энергии расширяется введением понятий о новых формах ее кроме механической, - энергии электромагнитного поля, химической энергии, ядерной и др. Универсальный закон сохранения и превращения энергии охватывает те физические явления, на которые законы Ньютона не распространяются. Этот закон имеет самостоятельное значение, так как получен на основе обобщений опытных фактов.
Пример 3.1 . Найти работу, совершаемую упругой силой, действующей на материальную точку вдоль некоторой оси х. Сила подчиняется закону , где х - смещение точки из начального положения (в котором.х=x 1), - единичный вектор в направлении оси х.
Найдем элементарную работу упругой силы при перемещении точки на величину dx. В формулу (3.1) для элементарной работы подставим выражение для силы:
.
Затем найдем работу силы, выполним интегрирование вдоль оси x в пределах от x 1 до x :
. (3.28)
Формулу (3.28) можно применить для определения потенциальной энергии сжатой или растянутой пружины, которая первоначально находится в свободном состоянии, т.е. x 1 =0 (коэффициент k называется коэффициеном жесткости пружины). Потенциальная энергия пружины при сжатии или растяжении равна работе против упругих сил, взятой с обратным знаком:
.
Пример 3.2 Применение теоремы об изменении кинетической энергии.
Найти минимальную скорость u, которую надо сообщить снаряду , чтобы он поднялся на высоту H над поверхностью Земли (сопротивлением атмосферного воздуха пренебречь ).
Направим ось координат от центра Земли по направлению полета снаряда. Начальная кинетическая энергия снаряда будет затрачена на работу против потенциальных сил гравитационного притяжения Земли. Формулу (3.10) с учетом формулы (3.3) можно представить в виде:
.
Здесь A
– работа против силы гравитационного притяжения Земли (
, g гравитационная постоянная, r
– расстояние, отсчитываемое от центра Земли). Знак минус появляется из-за того, что проекция силы гравитационного притяжения на направление движения снаряда отрицательна. Интегрируя последнее выражение и учитывая, что T(R+H)=0, T(R) = mυ 2 /2
, получим:
Решив полученное уравнение относительно υ, найдем:
где - ускорение свободного падения на поверхности Земли.
Подведем некоторые итоги. В предыдущих параграфах было выяснено, что:
1) если отдельные тела системы движутся с некоторыми скоростями, то от них может быть получена работа за счет уменьшения кинетической энергии этих тел:
где равно сумме изменений кинетической энергии всех тел системы;
2) если в системе тел действуют какие-либо консервативные силы, то работа может быть получена также за счет уменьшения
потенциальной энергии этой стемы:
Поэтому можно сказать, что полная работа, которую может отдать такая система, будет всегда равна
Сумма потенциальной и кинетической энергий системы тел получила название полной энергии системы:
Полная энергия системы определяет ту работу, которую можно получить от данной системы тел при ее взаимодействии о какими-либо другими телами, не входящими в эту систему.
Определим сначала, что может происходить с энергией изолированной системы, если телам предоставить возможность свободно двигаться под действием внутренних сил.
Пусть тело массы находится на высоте над поверхностью Земли и имеет скорость (рис. 5.33). В этом положении у тела будет кинетическая энергия и потенциальная энергия Полная энергия системы будет равна
Допустим, что тело перешло на высоту и его скорость стала равной При этом движении сила тяжести совершит работу
Вся эта работа будет израсходована на увеличение кинетической энергии тела:
(Трения и внешних сил нет.) Подставим в это выражение значение работы и перегруппируем члены уравнения:
Левая часть найденного выражения определяет полную энергию системы для начального момента времени:
Правая же часть определяет полную энергию системы для конечного момента времени:
В результате можно записать:
Оказалось, что при движении тел изолированной системы только под действием внутренних сил полная энергия системы не изменяется. При движении тел произошло только превращение части потенциальной энергии в кинетическую. В этом и состоит закон сохранения энергии, который можно сформулировать следующим образом: в изолированной системе тел полная энергия остается постоянной во все время движения тел; в системе происходят лишь превращения энергии из одного вида в другой.
Отсюда же следует, что если на систему действуют какие-либо внешние силы, то изменения полной энергии системы равны работе этих внешних сил.
Если в системе действуют силы трения, то полная энергия системы при движении тел уменьшается. Она расходуется на работу против этих сил. Одновременно работа сил трения производит нагревание. Как уже говорилось ранее, при работе сил трения происходит превращение механического движения в тепловое. Количество выделившегося тепла при этом в точности равно убыли полной механической энергии системы.
Полная механическая энергия тела равна сумме его кинетической и потенциальной энергии.
Полную механическую энергию рассматривают в тех случаях, когда действует закон сохранения энергии и она остаётся постоянной.
Если на движение тела не оказывают влияния внешние силы, например, нет взаимодействия с другими телами, нет силы трения или силы сопротивления движению, тогда полная механическая энергия тела остаётся неизменной во времени.
E пот + E кин = const
Разумеется, что в повседневной жизни не существует идеальной ситуации, в которой тело полностью сохраняло бы свою энергию, так как любое тело вокруг нас взаимодействует хотя бы с молекулами воздуха и сталкивается с сопротивлением воздуха. Но, если сила сопротивления очень мала и движение рассматривается в относительно коротком промежутке времени, тогда такую ситуацию можно приближённо считать теоретически идеальной.
Закон сохранения полной механической энергии обычно применяют при рассмотрении свободного падения тела, при его вертикальном подбрасывании или в случае колебаний тела.
Пример:
При вертикальном подбрасывании тела его полная механическая энергия не меняется, а кинетическая энергия тела переходит в потенциальную и наоборот.
Преобразование энергии отображено на рисунке и в таблице.
Точка нахождения тела | Потенциальная энергия | Кинетическая энергия | Полная механическая энергия |
E пот = m ⋅ g ⋅ h (max) | E полная = m ⋅ g ⋅ h |
||
2) Средняя (h = средняя) | E пот = m ⋅ g ⋅ h | E кин = m ⋅ v 2 2 | E полная = m ⋅ v 2 2 + m ⋅ g ⋅ h |
E кин = m ⋅ v 2 2 (max) | E полная = m ⋅ v 2 2 |
Исходя из того, что в начале движения величина кинетической энергии тела одинакова с величиной его потенциальной энергии в верхней точке траектории движения, для расчётов могут быть использованы ещё две формулы.
Если известна максимальная высота, на которую поднимается тело, тогда можно определить максимальную скорость движения по формуле:
v max = 2 ⋅ g ⋅ h max .
Если известна максимальная скорость движения тела, тогда можно определить максимальную высоту, на которую поднимается тело, брошенное вверх, по такой формуле:
h max = v max 2 2 g .
Чтобы отобразить преобразование энергии графически, можно использовать имитацию «Энергия в скейт-парке », в которой человек, катающийся на роликовой доске (скейтер) перемещается по рампе. Чтобы изобразить идеальный случай, предполагается, что не происходит потерь энергии в связи с трением. На рисунке показана рампа со скейтером, и далее на графике показана зависимость механической энергии от места положения скейтера на траектории.
На графике синей пунктирной линией показано изменение потенциальной энергии. В средней точке рампы потенциальная энергия равна \(нулю\). Зелёной пунктирной линией показано изменение кинетической энергии. В верхних точках рампы кинетическая энергия равна \(нулю\). Жёлто-зелёная линия изображает полную механическую энергию - сумму потенциальной и кинетической - в каждый момент движения и в каждой точке траектории. Как видно, она остаётся \(неизменной\) во всё время движения. Частота точек характеризует скорость движения - чем дальше точки расположены друг от друга, тем больше скорость движения.